현대 포트폴리오 이론

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

현대 포트폴리오 이론(MPT)은 투자자가 합리적이며 위험 회피적인 성향을 보인다는 가정 하에, 자산의 기대 수익률과 위험(분산)을 고려하여 최적의 포트폴리오를 선택하는 방법을 제시하는 이론이다. MPT는 평균-분산 분석을 통해 포트폴리오의 기대 수익률과 위험 간의 관계를 수학적으로 표현하며, 효율적 투자선과 자본 배분선을 통해 투자 결정의 지침을 제공한다. 자본 자산 가격 결정 모형(CAPM)은 MPT를 기반으로 자산의 기대 수익률을 결정하는 데 사용되며, 시장 균형 상태에서 자산 가격을 설명한다. MPT는 분산 투자, 효율적 투자선, 뮤추얼 펀드 분리 정리 등의 개념을 통해 투자 전략을 제시하지만, 현실 세계와의 괴리, 정규 분포 가정의 문제점, 위험 측정의 한계 등의 비판을 받기도 한다. MPT의 한계를 보완하기 위해 포스트 모던 포트폴리오 이론, 블랙-리터만 모델 등이 개발되었으며, 금융 시장 외에도 지역 과학, 사회 심리학, 정보 검색 등 다양한 분야에 응용되고 있다.

더 읽어볼만한 페이지

재무 - 복식부기
복식부기는 자산, 부채, 자본, 수익, 비용 계정을 사용하여 모든 경제적 거래를 차변과 대변에 이중으로 기록하는 회계 방식으로, 차변과 대변의 합이 일치하도록 유지하여 회계 정확성을 검증하며 13세기 말 이탈리아에서 발생하여 전 세계로 확산되었다.
재무 - 국제재무분석사
국제재무분석사(CFA)는 CFA 협회에서 주관하는 투자 전문가 자격증으로, 금융 투자 분야에 대한 전문 지식과 윤리적 기준을 평가하며 시험과 실무 경력 요건을 충족해야 취득할 수 있고, 전 세계적으로 인정받으며 특히 아시아에서 중요성이 커지고 있다.
금융 - 불로소득
불로소득은 경제학에서 노동이나 투자가 없이 얻는 소득을 의미하며, 고전 경제학에서는 토지 소유권에서, 마르크스 경제학에서는 잉여가치에서 발생하는 소득을 뜻한다.
금융 - 동전주
동전주는 낮은 주가로 개인 투자자들의 투기적 관심을 끌지만, 높은 변동성, 주가 조작 위험, 낮은 시가총액, 유동성 부족 등으로 투자 손실 위험이 크므로 신중한 접근이 필요하다.

현대 포트폴리오 이론
현대 포트폴리오 이론
개요
유형	금융
연구 분야	수리적 금융
하위 주제	자산 배분 자산 가격 결정 포트폴리오 최적화
역사적 맥락
개발자	해리 마코위츠
개발 연도	1952년
영향	자산 가격 결정 모형 효율적 시장 가설
주요 개념
핵심 아이디어	분산 투자를 통해 위험을 줄일 수 있다.
가정	투자자는 위험 회피적이다. 투자자는 기대 수익률과 위험(분산)을 기준으로 투자 결정을 내린다.
측정	기대 수익률 분산 (위험) 공분산 (자산 간 상관관계)
포트폴리오 구성
효율적 프론티어	주어진 위험 수준에서 최대 수익률을 제공하는 포트폴리오 집합
최적 포트폴리오	투자자의 위험 선호도에 따라 선택되는 효율적 프론티어 상의 포트폴리오
자산 배분	다양한 자산군에 투자 비중을 결정하는 과정
모델
주요 모델	마코위츠 모델 자본 자산 가격 결정 모형 (CAPM)
확장 모델	블랙-리터만 모델 파마-프렌치 3요인 모형
장점 및 한계점
장점	위험과 수익률을 정량적으로 분석하여 합리적인 투자 결정을 지원한다.
한계점	과거 데이터를 기반으로 미래를 예측한다. 투자자의 비합리적인 행동을 고려하지 않는다. 자산 간 상관관계가 시간에 따라 변할 수 있다.
활용
적용 분야	개인 투자 기관 투자 (예: 연기금, 헤지 펀드) 자산 관리
관련 기술	포트폴리오 최적화 소프트웨어 위험 관리 시스템
비판 및 대안
주요 비판	위험 측정 방식의 한계 (분산만 고려) 비정상적인 수익률 발생 가능성
대안 이론	행동 재무학 포스트 모던 포트폴리오 이론 블랙-리터만 모형
관련 용어
관련 용어	샤프 비율 트레이너 비율 젠센의 알파 변동성 공분산

2. 역사

1952년 해리 마코위츠의 논문 "Portfolio Selection"에서 현대 포트폴리오 이론이 처음 제시되었다.^[6] 이 이론은 투자자들이 위험 회피적이라고 가정한다. 즉, 동일한 기대 수익률을 제공하는 두 포트폴리오가 있을 때, 투자자들은 위험이 낮은 포트폴리오를 선호한다.

이후 1960년대 윌리엄 샤프의 자본자산 가격결정모형(CAPM) 개발로 현대 포트폴리오 이론이 더욱 발전하였다.

1990년에는 해리 마코위츠, 윌리엄 샤프, 머튼 밀러가 현대 포트폴리오 이론에 대한 공헌으로 노벨 경제학상을 공동 수상하였다.

3. 기본 가정

현대 포트폴리오 이론은 다음과 같은 기본 가정을 바탕으로 한다.

합리적인 투자자: 투자자는 위험 회피적이며, 기대효용 극대화를 목표로 한다. 즉, 동일한 기대 수익률을 가진 두 포트폴리오 중 위험(수익률의 변동성)이 낮은 것을 선호한다. 더 높은 기대 수익률을 원한다면, 더 많은 위험을 감수해야 한다.
평균-분산 기준: 투자자는 자산 수익률의 평균과 분산만을 고려하여 투자 결정을 내린다. 이를 평균-분산 분석이라고 한다.
단일기간 모형: 투자는 단일 기간 동안 이루어진다고 가정한다.

;수학적 표현

'''설정'''
금융 시장에는 $n$ 개의 금융 자산이 존재한다고 가정한다.
임의의 금융 자산 $i$ 의 수익률을 $R_{i}$ 라고 한다.
금융 시장은 완전 시장이라고 가정한다.
모든 금융 자산 $i$ 에는 위험이 존재한다. (모든 자산의 수익률 $R_{i}$ 의 분산은 0보다 크다.)
투자자는 자신의 자금 $100w_i$ 퍼센트를 금융 자산 $i$ 에 투자한다.
투자 비율 $w_{i},i=1,\dots,n$ 을 ''포트폴리오''라고 한다. ( $\sum_{i=1}^nw_{i} = 1$ ).
포트폴리오 $w_{i}$ 에 의한 투자의 수익률을 $R_{p}$ 로 나타낸다.
$\operatorname{E},\;\operatorname{Var},\;\operatorname{Cov},\;\operatorname{Corr}$ 을 각각 기대값, 분산, 공분산, 상관계수의 연산자로 한다.
'''포트폴리오의 기대 수익률''':

::

\operatorname{E}(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \operatorname{E}(R_i) \quad

'''포트폴리오의 수익률 분산''':

::

\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \operatorname{Cov}(R_{i},R_{j}) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}

:::단,

\sigma_{i} = \sqrt{\operatorname{Var}(R_{i})},\;\rho_{ij} = \operatorname{Corr}(R_{i},R_{j})

이다.

'''2개 자산 포트폴리오''':
'''기대 수익률''': $\operatorname{E}(R_p) = w_A \operatorname{E}(R_A) + (1 - w_A) \operatorname{E}(R_B) = w_A \operatorname{E}(R_A) + w_B \operatorname{E}(R_B)$
'''수익률 분산''': $\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_Aw_B \rho_{AB} \sigma_{A} \sigma_{B}$
'''3개 자산 포트폴리오의 수익률 분산''':

::

\begin{align}\sigma_{p}^2 &= w_A^2 \sigma_A^2  + w_B^2 \sigma_B^2 + w_C^2 \sigma_C^2 +    2w_Aw_B \rho_{AB} \sigma_{A} \sigma_{B}  +    2w_Aw_C \rho_{AC} \sigma_{A} \sigma_{C} +    2w_B w_C \rho_{BC} \sigma_{B} \sigma_{C} \\    &= \left(\begin{matrix}w_A & w_B & w_C\end{matrix}\right)    \left(\begin{matrix}\sigma_A^2 & \rho_{AB}\sigma_A\sigma_B & \rho_{AC}\sigma_A\sigma_C \\ \rho_{AB}\sigma_A\sigma_B & \sigma_B^2 & \rho_{BC}\sigma_B\sigma_C \\ \rho_{AC}\sigma_A\sigma_C & \rho_{BC}\sigma_B\sigma_C & \sigma_C^2\end{matrix}    \right)    \left(\begin{matrix}w_A \\ w_B \\ w_C\end{matrix}\right)\end{align}

금융 자산의 수가 $n$ 이 클 때는 행렬 표현을 사용한다.

;투자자의 포트폴리오 선택 문제

투자자는 주어진 (목표) 기대 수익률

\mu_{p}

를 달성하는 포트폴리오 중에서 가장 수익률의 분산이 작은 것을 선택한다.

최소화 문제:

:

\mbox{min }\sigma_{p}^2

:

\mbox{subject to }\sum_{i=1}^{n}\operatorname{E}(R_{i})w_{i} = \mu_{p},\quad \sum_{i=1}^{n}w_{i} = 1

이 문제는 2차 계획 문제가 된다. 일반적인

n

개 금융 자산의 경우, 최소화 문제의 해는 로버트 머튼이 제시했다.^[36]

위험 자산 수익률의 분산 공분산 행렬:

:

\Omega = \left(\begin{matrix} \sigma_{11}&\cdots&\sigma_{1n} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \sigma_{n1}&\cdots&\sigma_{nn} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \operatorname{Var}(R_1)&\cdots&\operatorname{Cov}(R_1,R_n) \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \operatorname{Cov}(R_n,R_1)&\cdots&\operatorname{Var}(R_n) \end{matrix}\right)

역행렬:

:

\Omega^{-1} = \left(\begin{matrix} v_{11}&\cdots&v_{1n} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ v_{n1}&\cdots&v_{nn} \end{matrix}\right)

최적 투자 비율:

:

w_i = \frac{1}{D}\left(\mu_{p}\sum_{j=1}^n v_{ij}(C\operatorname{E}(R_j) - A) + \sum_{j=1}^n v_{ij}(B - A\operatorname{E}(R_j))\right),\quad i = 1,\dots,n

단, $A = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\operatorname{E}(R_j),\; B = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\operatorname{E}(R_i)\operatorname{E}(R_j),\; C = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}v_{ij},\; D = BC - A^2 > 0$

기대 수익률과 수익률 분산의 관계:^[36]

:

\sigma_{p}^2 = \frac{C\mu_p^2 -2A\mu_p + B}{D}

4. 수익과 위험

현대 포트폴리오 이론(MPT)은 투자자들이 위험 회피적이라고 가정한다. 즉, 동일한 기대 수익률을 제공하는 두 포트폴리오가 있다면, 투자자들은 위험이 낮은 포트폴리오를 선호한다. 따라서 투자자는 더 높은 기대 수익률에 대한 보상이 있을 경우에만 위험을 감수하며, 더 높은 기대 수익률을 원할수록 더 많은 위험을 감수해야 한다.

이 모델에 따르면:

포트폴리오 수익률은 구성 자산 수익률의 비율 가중 결합이다.
포트폴리오 수익률 변동성 $\sigma_p$ 는 모든 자산 쌍(''i'', ''j'')에 대해 구성 자산의 상관 관계 ''ρ''_ij의 함수이다. 변동성은 투자와 관련된 위험에 대한 통찰력을 제공하며, 변동성이 높을수록 위험도 높다.

n개의 주식으로 구성된 포트폴리오의 기대수익률과 위험(분산)은 다음과 같이 표현된다. (수식 부분은 하위 섹션 "수학적 표현"과 중복되므로 생략)

현대 포트폴리오 이론에서는 투자자가 투자 수익률의 분포에 대해 평균과 분산만 고려하고, 왜도나 첨도와 같은 다른 분포 특징에는 관심을 갖지 않는다고 가정하는 경우가 있다. 이처럼 평균과 분산에만 주목하는 포트폴리오 선택 이론을 '''평균 분산 분석'''(mean-variance analysis^영어)이라고 한다.

4. 1. 수학적 표현

다음은 현대 포트폴리오 이론에서 n개의 자산으로 구성된 포트폴리오의 기대 수익률과 위험(분산)에 대한 수학적 표현이다.

포트폴리오의 기대 수익률:

:

\operatorname{E}(R_p) = \sum_i w_i \operatorname{E}(R_i) \quad

포트폴리오의 위험 (분산):

:

\sigma_p^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}

또는 i≠j일 경우, 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\sigma_p^2 = \sum_i w_i^2 \sigma_{i}^2 + \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}

일반적으로 다음과 같다.

기대 수익률:

:

\operatorname{E}(R_p) = \sum_i w_i \operatorname{E}(R_i) \quad

여기서

R_p

는 포트폴리오의 수익률,

R_i

는 자산 ''i''의 수익률,

w_i

는 구성 자산

i

의 가중치(즉, 포트폴리오에서 자산 "i"의 비율, 따라서

\sum_i w_i = 1

)이다.

포트폴리오 수익률 분산:

:

\sigma_p^2 = \sum_i w_i^2 \sigma_{i}^2 + \sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}

여기서

\sigma_{i}

는 자산 ''i''에 대한 주기적 수익률의 (표본) 표준 편차이고,

\rho_{ij}

는 자산 ''i''와 ''j''의 수익률 간의 상관 계수이다. 또는 이 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\sigma_p^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}

여기서

\rho_{ij} = 1

for

i =  j

, 또는

:

\sigma_p^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{ij}

여기서

\sigma_{ij} = \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}

는 두 자산의 주기적 수익률의 (표본) 공분산이며, 또는

\sigma(i,j)

,

\text{cov}_{ij}

또는

\text{cov}(i,j)

로도 표시된다.

포트폴리오 수익률 변동성 (표준 편차):

:

\sigma_p = \sqrt {\sigma_p^2}

'''두 자산''' 포트폴리오의 경우:

포트폴리오 기대 수익률: $\operatorname{E}(R_p) = w_A \operatorname{E}(R_A) + w_B \operatorname{E}(R_B) = w_A \operatorname{E}(R_A) + (1 - w_A) \operatorname{E}(R_B).$
포트폴리오 분산: $\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_Aw_B \sigma_{A} \sigma_{B} \rho_{AB}$

'''세 자산''' 포트폴리오의 경우:

포트폴리오 기대 수익률: $\operatorname{E}(R_p) = w_A \operatorname{E}(R_A) + w_B \operatorname{E}(R_B) + w_C \operatorname{E}(R_C)$
포트폴리오 분산: $\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + w_C^2 \sigma_C^2 + 2w_Aw_B \sigma_{A} \sigma_{B} \rho_{AB} + 2w_Aw_C \sigma_{A} \sigma_{C} \rho_{AC} + 2w_Bw_C \sigma_{B} \sigma_{C} \rho_{BC}$

대수 표현은 관련 수량을 행렬 표기법으로 표현하면 훨씬 간단해진다.^[6] N개의 위험 자산의 수익률을

N\times 1

벡터

R

로 배열한다. 여기서 첫 번째 요소는 첫 번째 자산의 수익률이고, 두 번째 요소는 두 번째 자산의 수익률 등이다. 예상 수익률을 열 벡터

\mu

로 배열하고, 분산과 공분산을 공분산 행렬

\Sigma

로 배열한다. N개의 위험 자산 각각에 대한 가중치가 가중치 벡터

w

의 해당 요소로 주어진 위험 자산 포트폴리오를 고려한다. 그러면:

포트폴리오 기대 수익률: $w'\mu$
포트폴리오 분산: $w'\Sigma w$

수익률이

R_f

인 무위험 자산에 대한 투자가 있는 경우, 가중치 벡터의 가중치 합은 1이 아니며, 포트폴리오 기대 수익률은

w'\mu+(1-w'1)R_f

가 된다. 포트폴리오 분산에 대한 표현식은 변경되지 않는다.

; 수학적 표현

설정
금융 시장에는 금융 자산이 $n$ 개 존재한다고 가정한다. 또한 임의의 금융 자산 $i$ 에 대해 그 수익률을 $R_{i}$ 라고 한다. 그리고 금융 시장은 완전 시장이라고 가정한다. 또한 모든 금융 자산 $i$ 에는 위험이 존재하는 것으로 한다. 즉, 모든 자산의 수익률 $R_{i}$ 의 분산은 반드시 0보다 엄격하게 큰 것으로 한다.
투자자는 자신의 자금의 $100w_i$ 퍼센트를 금융 자산 $i$ 에 투자하는 것으로 한다. 이 투자 비율을 나타내는 $w_{i},i=1,\dots,n$ 을 ''포트폴리오''라고 한다. 비율이므로 $\sum_{i=1}^nw_{i} = 1$ 을 만족한다. 포트폴리오 $w_{i}$ 에 의한 투자의 수익률을 $R_{p}$ 로 나타내는 것으로 한다.
$\operatorname{E},\;\operatorname{Var},\;\operatorname{Cov},\;\operatorname{Corr}$ 을 각각 기대값, 분산, 공분산, 상관계수의 연산자로 한다.
포트폴리오의 기대 수익률:

:

\operatorname{E}(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \operatorname{E}(R_i) \quad

포트폴리오의 수익률 분산:

:

\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \operatorname{Cov}(R_{i},R_{j}) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}

: 단,

\sigma_{i} = \sqrt{\operatorname{Var}(R_{i})},\;\rho_{ij} = \operatorname{Corr}(R_{i},R_{j})

이다.

2개의 자산으로 구성된 포트폴리오의 경우:
포트폴리오의 기대 수익률:

:

\operatorname{E}(R_p) = w_A \operatorname{E}(R_A) + (1 - w_A) \operatorname{E}(R_B) = w_A \operatorname{E}(R_A) + w_B \operatorname{E}(R_B)

포트폴리오의 수익률 분산:

:

\sigma_p^2  = w_A^2 \sigma_A^2  + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_Aw_B  \rho_{AB} \sigma_{A} \sigma_{B}

3개의 자산으로 구성된 포트폴리오의 수익률 분산:

:

\begin{align}\sigma_{p}^2 &= w_A^2 \sigma_A^2  + w_B^2 \sigma_B^2 + w_C^2 \sigma_C^2 + 2w_Aw_B \rho_{AB} \sigma_{A} \sigma_{B}  + 2w_Aw_C \rho_{AC} \sigma_{A} \sigma_{C} + 2w_B w_C \rho_{BC} \sigma_{B} \sigma_{C} \\&= \left(\begin{matrix}w_A & w_B & w_C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\sigma_A^2 & \rho_{AB}\sigma_A\sigma_B & \rho_{AC}\sigma_A\sigma_C \\ \rho_{AB}\sigma_A\sigma_B & \sigma_B^2 & \rho_{BC}\sigma_B\sigma_C \\ \rho_{AC}\sigma_A\sigma_C & \rho_{BC}\sigma_B\sigma_C & \sigma_C^2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w_A \\ w_B \\ w_C\end{matrix}\right)\end{align}

금융 자산의 수 $n$ 이 클 때는 행렬에 의한 표현이 사용된다.

5. 분산 투자

현대 포트폴리오 이론(MPT)에 따르면, 투자자들은 위험 회피적이다. 즉, 동일한 기대 수익률을 가진 두 포트폴리오 중에서는 위험이 낮은 쪽을 선호한다. 따라서 투자자는 더 높은 기대 수익률을 얻기 위해서만 추가적인 위험을 감수한다.

분산 투자는 이러한 위험을 줄이는 방법 중 하나이다. 서로 상관관계가 낮은 자산들을 조합하여 포트폴리오를 구성하면, 동일한 기대 수익률을 유지하면서도 포트폴리오 전체의 위험을 낮출 수 있다. 이는 개별 자산의 고유한 위험(비체계적 위험)이 분산 투자를 통해 상쇄되기 때문이다. 하지만 시장 전체의 위험(체계적 위험)은 분산 투자로 제거할 수 없다.^[6]

예를 들어, 두 자산 A와 B로 구성된 포트폴리오를 생각해보자.

포트폴리오 기대 수익률:
포트폴리오 분산:

여기서 w_A와 w_B는 각각 자산 A와 B의 투자 비중, E(R_A)와 E(R_B)는 각 자산의 기대 수익률, σ_A와 σ_B는 각 자산의 표준 편차, ρ_AB는 두 자산 간의 상관 계수를 의미한다.

만약 두 자산의 상관관계가 완벽하게 양의 상관관계(ρ_AB = 1)가 아니라면, 즉 -1 ≤ ρ_AB < 1 이라면, 분산 투자를 통해 포트폴리오의 위험(σ_p)을 줄일 수 있다.

세 자산으로 구성된 포트폴리오의 경우, 포트폴리오의 기대 수익률과 분산은 다음과 같다.

포트폴리오 기대수익률:
포트폴리오 분산:

6. 효율적 투자선

시장에 존재하는 다양한 자산들을 조합하여 수많은 포트폴리오를 만들 수 있다. 이 중에서 동일한 위험을 가지면서 더 높은 기대수익률을 제공하거나, 동일한 기대수익률을 제공하면서 더 낮은 위험을 가진 포트폴리오는 그렇지 않은 포트폴리오를 지배하게 된다. 이러한 지배 원리에 따라 서로 지배할 수 없는 포트폴리오들의 집합을 효율적 투자선(efficient frontier)이라고 한다.

현대 포트폴리오 이론(MPT)은 평균-분산 이론으로, 포트폴리오의 예상(평균) 수익률과 표준편차를 비교한다. 그림에서 세로축은 예상 수익률, 가로축은 표준편차(변동성)를 나타낸다. 변동성은 위험의 척도로 사용된다.^[7] 수익률-표준편차 공간은 '예상 수익률 대 위험' 공간이라고도 불린다. 모든 가능한 위험 자산 조합은 이 공간에 표시될 수 있으며, 이 집합은 영역을 정의한다. 이 영역의 왼쪽 경계는 쌍곡선이며,^[8] 이 경계의 위쪽 부분이 무위험 자산이 없을 때의 효율적 투자선("마코위츠 총알"이라고도 함)이다. 이 위쪽 가장자리에 있는 조합은 주어진 예상 수익률 수준에서 가장 낮은 위험을 나타내는 포트폴리오(무위험 자산 보유 없음 포함)를 의미한다. 즉, 효율적 투자선에 있는 포트폴리오는 주어진 위험 수준에서 가능한 최상의 예상 수익률을 제공한다. 쌍곡선 경계 위쪽 부분에 대한 접선은 자본 배분선(CAL)이다.

효율적 투자선은 원뿔 곡선 문제로 시각화할 수 있다.^[12] 현대 포트폴리오 이론에서 투자자는 합리적이고 위험 회피적이라고 가정한다. 즉, 동일한 기대 수익률을 얻을 수 있다면 위험이 낮은 자산을 선호한다. 이 위험은 수익률의 표준 편차로 측정된다. 투자자들은 투자 수익률의 분포에 대해 평균과 분산만 고려하고, 왜도나 첨도와 같은 다른 분포 특징에는 관심을 갖지 않는 경우가 있다. 이처럼 평균과 분산에만 주목하는 포트폴리오 선택 이론을 '''평균 분산 분석'''(mean-variance analysis^영어)이라고 한다.

; 수학적 표현

투자자는 주어진 (목표) 기대 수익률 ${\displaystyle \mu _{p}}$를 달성하는 포트폴리오 중에서 수익률의 분산이 가장 작은 것을 선택한다. 이 문제는 2차 계획 문제가 된다. 일반적인 ${\displaystyle n}$개 금융 자산이 존재하는 경우의 최소화 문제의 해석해는 로버트 머튼에 의해 주어졌다.^[36]

세로축(Y축)에 기대 수익률, 가로축(X축)에 수익률의 표준 편차(리스크)를 나타낸 좌표 평면을 리스크-수익률 평면이라고 한다. 최소 분산 프론티어 상의 포트폴리오에서 가장 표준 편차가 작아지는 것을 '''전역 최소 분산 포트폴리오'''(global minimum variance portfolio^영어)라고 한다. 최소 분산 프론티어에서 전역 최소 분산 포트폴리오보다 위쪽 부분의 곡선을 '''효율적 프론티어'''(efficient frontier^영어)라고 부른다.^[37]

최소 분산 프론티어 상의 포트폴리오는 주어진 기대 수익률(Y축의 값)을 얻을 수 있는 분산(X축의 값)이 최소인 포트폴리오가 된다. 평균-분산 분석을 수행하는 투자자에게 최적의 포트폴리오는 반드시 효율적 프론티어 위에 있다. 효율적 프론티어가 위험-수익 평면상에서 볼록성을 갖는 이유는, 효율적 프론티어 상의 포트폴리오의 표준 편차가 기대 수익률의 2차 함수로 표현되기 때문이다.

'''무위험 자산'''(risk-free asset)은 위험 없이 수익을 얻을 수 있는 자산을 말하며, 채무 불이행 가능성이 거의 없는 선진국의 단기 국채 등이 대용으로 사용된다. 투자자는 무위험 자산을 차입(공매도)하여 포트폴리오에 레버리지를 걸거나, 무위험 자산을 매입하여 위험(표준 편차)을 줄일 수 있다.

자본 배분선은 기울기가 클수록 효율이 좋아지는데, 이 기울기가 최대가 되는 위험 자산 포트폴리오를 선택하면 가장 효율적인 투자가 가능하다. 자본 배분선의 기울기가 최대가 되는 것은 절편을 무위험 금리 ${\displaystyle r_{\mathrm {f} }}$로 하고, 효율적 프론티어에 접하는 접선이 된다. 이 접선과 효율적 프론티어의 교차점에서 기대 수익률과 표준 편차를 실현하는 위험 자산 포트폴리오를 '''접점 포트폴리오'''(tangency portfolio^영어)라고 한다.^[41]

6. 1. 효율적 투자선 계산

행렬은 효율적 투자선 계산에 선호되는 방법이다.

주어진 "위험 감수" ${\displaystyle q\in [0,\infty )}$에 대해, 효율적 투자선은 다음 식을 최소화하여 찾는다.

:${\displaystyle w^{T}\Sigma w-qR^{T}w}$

여기서

${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{N}}$은 포트폴리오 가중치의 벡터이고 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$이다. (가중치는 음수일 수 있다)
${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{N\times N}}$은 포트폴리오 내 자산 수익률에 대한 공분산 행렬이다.
${\displaystyle q\geq 0}$은 "위험 감수" 요인으로, 0은 최소 위험의 포트폴리오를, ${\displaystyle \infty }$는 예상 수익률과 위험이 모두 무제한인 투자선에서 무한히 멀리 떨어진 포트폴리오를 나타낸다.
${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{N}}$은 예상 수익률의 벡터이다.
${\displaystyle w^{T}\Sigma w\in \mathbb {R} }$은 포트폴리오 수익률의 분산이다.
${\displaystyle R^{T}w\in \mathbb {R} }$은 포트폴리오의 예상 수익률이다.

위 최적화는 투자선의 기울기의 역수가 포트폴리오 수익률 분산이 아니라 표준 편차가 수평으로 플롯된 경우 ${\displaystyle q}$가 되는 투자선의 점을 찾는다. 투자선 전체는 ${\displaystyle q}$에 대해 매개변수화된다.

해리 마코위츠는 위 문제를 해결하기 위한 특정 절차인 임계선 알고리즘을 개발했다.^[9] 임계선 알고리즘은 추가적인 선형 제약 조건, 자산의 상한 및 하한을 처리할 수 있으며, 반양의 정부호 공분산 행렬에서도 작동하는 것으로 증명되었다. 임계선 알고리즘의 구현 예시는 Visual Basic for Applications,^[10] JavaScript^[11] 및 몇 가지 다른 언어에서 존재한다.

MATLAB, Microsoft Excel, Mathematica 및 R을 포함한 많은 소프트웨어 패키지는 일반적인 최적화 루틴을 제공하므로, 이를 사용하여 위 문제를 해결할 수 있다. 하지만 부실한 수치 정확도, 공분산 행렬의 양의 정부호성 요구 사항 등 잠재적인 주의 사항이 있다.

효율적 투자선을 지정하는 대안적인 접근 방식은 예상 포트폴리오 수익률 ${\displaystyle R^{T}w}$에 대해 매개변수적으로 수행하는 것이다. 이 버전의 문제는 다음을 최소화해야 한다.

:${\displaystyle w^{T}\Sigma w }$

다음 조건에 따라

:${\displaystyle R^{T}w=\mu }$

그리고

:${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$

매개변수 ${\displaystyle \mu }$에 대해. 이 문제는 라그랑주 승수를 사용하여 쉽게 해결되며, 다음 선형 방정식 시스템으로 이어진다.

:${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}$

6. 2. 뮤추얼 펀드 분리 정리

투자신탁 정리(Mutual fund separation theorem^영어)는 다음과 같다.^[42]

: 임의의 효율적인 포트폴리오는 위험 자산으로 구성된 하나의 펀드와 무위험 자산을 조합하여 생성된다.

평균-분산 분석과 일치하는 기대 효용 최대화 문제를 고려하면, 위험-수익률 평면상에서 무차별 곡선은 우상향하는 볼록한 곡선이 된다. 위험-수익률 평면에서 어떤 점 A보다 오른쪽에 있는 점은 기대 수익률이 점 A보다 낮고, 위험(수익률의 표준 편차)은 점 A보다 크기 때문에, 평균-분산 분석을 수행하는 경제 주체에게는 점 A보다 효율이 나쁜 투자가 된다. 위험-수익률 평면에서 어떤 점 A보다 왼쪽에 있는 점도 마찬가지 논리를 사용하면 점 A보다 효율이 좋은 투자가 됨을 알 수 있다. 따라서 위험-수익률 평면상의 무차별 곡선은 우상향한다. 볼록성은 위험 회피적인 성향에서 발생한다.

따라서 평균-분산 분석을 수행하는 경제 주체는 위험-수익률 평면상에서 더 왼쪽에 있는 점을 실현하는 포트폴리오를 선호하게 된다. 그렇게 생각하면, 접점 포트폴리오를 통과하는 자본 배분선상의 점을 실현하는 포트폴리오를 반드시 선택하게 된다. 왜냐하면, 위험-수익률 평면에서 접점 포트폴리오를 통과하는 자본 배분선보다 왼쪽에 있는 점을 실현하는 포트폴리오는 존재하지 않기 때문이다. 이것은 평균-분산 분석을 수행하는 투자자의 포트폴리오의 차이는 접점 포트폴리오와 무위험 자산에 대한 투자 비율만이 된다는 것을 의미한다. 즉 위험 자산만의 투자 비율은 모든 평균-분산 분석을 수행하는 투자자 간에 동일하며 접점 포트폴리오가 된다.

따라서 평균-분산 분석을 수행하는 투자자의 포트폴리오 선택 문제는, (1) 접점 포트폴리오를 특정하는 것과 (2) 자신의 위험 태도에 맞는 비율로 접점 포트폴리오와 무위험 자산에 대한 투자 비율을 결정하는 것, 두 가지로 분리된다. 이처럼 투자자의 포트폴리오 선택 문제가 두 가지 문제로 분리되는 것을 분리 정리()라고 한다. 이 분리 정리는 1958년에 발표된 제임스 토빈의 연구^[43]가 시초가 되었다.

실제로, 위험 자산에 대한 총 투자 비율은

\sum_{i=1}^{n}w_{i} = \frac{\mu_p-r_{\mathrm f}}{Cr_{\mathrm f}^2 - 2Ar_{\mathrm f} + B}\left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} v_{ij}(\operatorname{E}(R_j) - r_{\mathrm f})\right) = \frac{\mu_p-r_{\mathrm f}}{Cr_{\mathrm f}^2 - 2Ar_{\mathrm f} + B}\Big(A - Cr_{\mathrm f}\Big)

로 나타내므로, 위험 자산 내에서의 투자 비율은

\frac{w_i}{\sum_{j=1}^{n}w_{j}} = \frac{1}{A-Cr_{\mathrm f}}\left(\sum_{j=1}^n v_{ij}(\operatorname{E}(R_j) - r_{\mathrm f})\right),\quad i = 1,\dots,n

이 되어, 요구 수익률

\mu_p

에 의존하지 않게 된다. 이 위험 자산 내에서의 투자 비율이 접점 포트폴리오와 일치한다. 단,

A - Cr_{\mathrm f}\neq 0

을 가정한다^[41]。

위험-수익률 평면에서 접점 포트폴리오를 통과하는 자본 배분선을 또한 효율적 프론티어()라고 부른다. 위험 자산만에 대한 투자의 경우 효율적 프론티어는 볼록한 곡선이었던 반면, 무위험 자산에 대한 투자를 포함하는 경우 효율적 프론티어는 직선이 된다. 무위험 자산에 대한 투자를 포함하는 경우 효율적 프론티어는 위험-수익률 평면에서 접점 포트폴리오와 무위험 자산이 위치하는 점을 특정할 수 있다면, 그 두 점을 통과하는 직선이 되므로 특정 가능하다. 이 사실을 분리 정리라고 부르기도 한다.

위험-수익률 평면에서 어떤 투자자의 무차별 곡선이 접점 포트폴리오보다 왼쪽에 있는 위치에서 효율적 프론티어와 접한다면 그 접점이 그 투자자의 최적 포트폴리오가 되어, 그 투자자는 무위험 자산과 접점 포트폴리오를 모두 정(+)의 비율로 보유한다. 접점 포트폴리오보다 오른쪽에 있는 위치에서 접한다면, 그 투자자는 무위험 자산을 공매도하고, 그만큼 더 접점 포트폴리오에 투자하도록 레버리지를 활용한 투자를 한다.

7. 무위험 자산과 자본 배분선(CAL)

무위험 자산은 수익률 변동성이 없는 자산으로, 주로 선진국의 단기 국채가 이에 해당한다.^[38] 무위험 자산의 수익률은 고정된 안전 이자율이므로 분산은 0이며, 다른 자산과의 상관 계수도 0이다.

무위험 자산과 위험 자산을 결합하여 포트폴리오를 구성하면, 기대 수익률과 수익률의 표준 편차는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[38]

위험 자산에 $100w_p$ %, 무위험 자산에 $100w_{\mathrm f}$ % 투자하는 경우 ( $w_p + w_{\mathrm f} = 1$ ):
기대 수익률: $w_{\mathrm f} r_{\mathrm f} + w_p \operatorname{E}(R_p) \quad$
수익률의 표준 편차: $w_p \sigma_p \quad$
위험 자산 포트폴리오 $w_i$ ( $i=1,\dots,n$ )에 $100\alpha$ %, 무위험 자산에 $100(1-\alpha)$ % 투자하는 경우:
기대 수익률: $(1-\alpha) r_{\mathrm f} + \alpha\operatorname{E}(R_p) = (1-\alpha) r_{\mathrm f} + \alpha\sum_{i=1}^nw_i\operatorname{E}(R_i)$
수익률의 표준 편차: $\alpha\sigma_p = \alpha\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \operatorname{Cov}(R_{i},R_{j})}$

투자자는 무위험 자산을 차입(공매도)하여 포트폴리오에 레버리지를 적용하거나(

\alpha > 1

), 무위험 자산을 매입하여 위험을 줄일 수 있다(

\alpha < 1

).

위험 자산 포트폴리오의 수익률을

R_p

, 무위험 자산과 위험 자산 포트폴리오를 결합한 포트폴리오의 수익률을

R_c

라 할 때, 기대 수익률과 수익률의 표준 편차 사이에는 다음과 같은 선형 관계가 성립한다.

:

\operatorname{E}(R_c) = r_{\mathrm f} + \frac{\operatorname{E}(R_p) - r_{\mathrm f}}{\sigma_p}\sigma_c

이 식은 위험-수익률 평면에서 직선으로 나타나며, 이를 자본 배분선(CAL, Capital Allocation Line)이라 한다. 자본 배분선은 위험 자산 포트폴리오와 무위험 자산의 조합으로 달성 가능한 모든 투자 기회를 나타낸다.

CAL의 기울기(

\frac{\operatorname{E}(R_p) - r_{\mathrm f}}{\sigma_p}

)는 위험 자산 포트폴리오의 샤프 비율을 의미하며, 이 값이 클수록 효율적인 투자이다. 따라서 가장 효율적인 자본 배분선은 효율적 투자선에 접하는 접선이 되며, 이 접점에서의 포트폴리오를 접점 포트폴리오(tangency portfolio)라고 한다.^[41]

7. 1. 하나의 뮤추얼 펀드 정리

1-펀드 정리 또는 토빈의 분리 정리는 다음과 같다.^[42]

: 임의의 효율적인 포트폴리오는 위험 자산으로 구성된 하나의 펀드와 무위험 자산을 조합하여 생성된다.

평균-분산 분석과 일치하는 기대 효용 최대화 문제를 고려하면, 위험-수익률 평면상에서 무차별 곡선은 우상향하는 볼록한 곡선이 된다. 위험-수익률 평면에서 어떤 점 A보다 오른쪽에 있는 점은 기대 수익률이 점 A보다 낮고, 위험(수익률의 표준 편차)은 점 A보다 크기 때문에, 평균-분산 분석을 수행하는 경제 주체에게는 점 A보다 효율이 나쁜 투자가 된다. 위험-수익률 평면에서 어떤 점 A보다 왼쪽에 있는 점도 마찬가지 논리를 사용하면 점 A보다 효율이 좋은 투자가 됨을 알 수 있다. 따라서 위험-수익률 평면상의 무차별 곡선은 우상향한다. 볼록성은 위험 회피적인 성향에서 발생한다.

따라서 평균-분산 분석을 수행하는 경제 주체는 위험-수익률 평면상에서 더 왼쪽에 있는 점을 실현하는 포트폴리오를 선호하게 된다. 그렇게 생각하면, 접점 포트폴리오를 통과하는 자본 배분선상의 점을 실현하는 포트폴리오를 반드시 선택하게 된다. 왜냐하면, 위험-수익률 평면에서 접점 포트폴리오를 통과하는 자본 배분선보다 왼쪽에 있는 점을 실현하는 포트폴리오는 존재하지 않기 때문이다. 이것은 평균-분산 분석을 수행하는 투자자의 포트폴리오의 차이는 접점 포트폴리오와 무위험 자산에 대한 투자 비율만이 된다는 것을 의미한다. 즉 위험 자산만의 투자 비율은 모든 평균-분산 분석을 수행하는 투자자 간에 동일하며 접점 포트폴리오가 된다. 따라서 평균-분산 분석을 수행하는 투자자의 포트폴리오 선택 문제는, (1) 접점 포트폴리오를 특정하는 것과 (2) 자신의 위험 태도에 맞는 비율로 접점 포트폴리오와 무위험 자산에 대한 투자 비율을 결정하는 것, 두 가지로 분리된다. 이처럼 투자자의 포트폴리오 선택 문제가 두 가지 문제로 분리되는 것을 '''분리 정리'''(separation theorem^영어), 또는 '''투자신탁 정리'''(mutual fund theorem^영어)라고 부른다. 이 분리 정리는 1958년에 발표된 제임스 토빈의 연구^[43]가 시초가 되었다.

실제로, 위험 자산에 대한 총 투자 비율은

:

\sum_{i=1}^{n}w_{i} = \frac{\mu_p-r_{\mathrm f}}{Cr_{\mathrm f}^2 - 2Ar_{\mathrm f} + B}\left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} v_{ij}(\operatorname{E}(R_j) - r_{\mathrm f})\right) = \frac{\mu_p-r_{\mathrm f}}{Cr_{\mathrm f}^2 - 2Ar_{\mathrm f} + B}\Big(A - Cr_{\mathrm f}\Big)

로 나타내므로, 위험 자산 내에서의 투자 비율은

:

\frac{w_i}{\sum_{j=1}^{n}w_{j}} = \frac{1}{A-Cr_{\mathrm f}}\left(\sum_{j=1}^n v_{ij}(\operatorname{E}(R_j) - r_{\mathrm f})\right),\quad i = 1,\dots,n

이 되어, 요구 수익률

\mu_p

에 의존하지 않게 된다. 이 위험 자산 내에서의 투자 비율이 접점 포트폴리오와 일치한다. 단,

A - Cr_{\mathrm f}\neq 0

을 가정한다^[41]。

위험-수익률 평면에서 접점 포트폴리오를 통과하는 자본 배분선을 또한 '''효율적 프론티어'''(efficient frontier^영어)라고 부른다. 위험 자산만에 대한 투자의 경우 효율적 프론티어는 볼록한 곡선이었던 반면, 무위험 자산에 대한 투자를 포함하는 경우 효율적 프론티어는 직선이 된다. 무위험 자산에 대한 투자를 포함하는 경우 효율적 프론티어는 위험-수익률 평면에서 접점 포트폴리오와 무위험 자산이 위치하는 점을 특정할 수 있다면, 그 두 점을 통과하는 직선이 되므로 특정 가능하다. 이 사실을 분리 정리라고 부르기도 한다. 위험-수익률 평면에서 어떤 투자자의 무차별 곡선이 접점 포트폴리오보다 왼쪽에 있는 위치에서 효율적 프론티어와 접한다면 그 접점이 그 투자자의 최적 포트폴리오가 되어, 그 투자자는 무위험 자산과 접점 포트폴리오를 모두 정(+)의 비율로 보유한다. 접점 포트폴리오보다 오른쪽에 있는 위치에서 접한다면, 그 투자자는 무위험 자산을 공매도하고, 그만큼 더 접점 포트폴리오에 투자하도록 레버리지를 활용한 투자를 한다.

8. 자산 가격 결정

자산 가격 결정 이론은 개별 투자자의 최적 행동 분석을 기반으로 한다. 현대 포트폴리오 이론(MPT)은 이 맥락에서 올바르게 가격이 책정된 자산에 대한 요구 수익률을 도출한다.

직관적으로 (완전 시장과 합리적 투자자가 있는 경우) 증권의 가격은 수요와 공급에 따라 조정된다. 어떤 증권이 다른 증권에 비해 비싸면(가격에 비해 위험이 너무 크면) 수요가 감소하고 가격이 하락한다. 반대로 저렴하면 수요와 가격이 증가한다. 이러한 조정은 "시장 균형" 상태가 될 때까지 계속된다. 이 균형 상태에서 상대적 공급은 상대적 수요와 같아진다. 위험 대 보상 비율이 모든 증권에 걸쳐 동일하므로, 완전하게 다각화된 포트폴리오에서 각 증권의 비율은 전체 시장에서와 마찬가지일 것이다.

좀 더 형식적으로 말하면, 모든 사람이 위험 자산을 서로 동일한 비율(접점 포트폴리오에 의해 주어진 비율)로 보유하기 때문에, 시장 균형 상태에서 위험 자산의 가격과 기대 수익률은 접점 포트폴리오의 비율이 위험 자산이 시장에 공급되는 비율과 동일하도록 조정될 것이다.^[14]

현대 포트폴리오 이론에서 투자자는 합리적이고 위험 회피적이라고 가정한다. 즉, 동일한 기대 수익을 올릴 수 있는 자산이라면 위험이 작은 것을 선호한다. 이 위험은 수익률의 표준 편차로 측정된다. 모든 합리적 투자자의 포트폴리오 선택 문제는 주어진 기대 수익률을 달성하는 것 중 가장 분산이 작은 것을 선택하는 문제로 대체된다.

합리적인 투자자는 현재 포트폴리오의 위험과 수익 특성을 개선할 수 있다고 판단될 때 비로소 투자를 재검토한다. 자산의 수익은 오늘 보유하는 자산의 양에 의존한다. 자산이 시장 포트폴리오에 추가될 때 지불해야 하는 가격은 시장 포트폴리오의 위험-수익 특성이 개선됨을 보장해야 한다.

8. 1. 자본 자산 가격 결정 모형(CAPM)

현대 포트폴리오 이론(MPT)은 자산 가격 결정의 맥락에서, 올바르게 가격이 책정된 자산에 대한 요구 수익률을 도출한다. 만약 투자자가 활용할 수 있는 무위험 금리와 전체적인 시장의 위험이 있다면, 자본 자산 가격 결정 모형(CAPM)은 시장에서 어떤 자산에 대해 이론적으로 요구되는 수익을 도출하는 모델이다.

CAPM이 성립한다면, 접점 포트폴리오와 모든 위험 자산으로 구성된 시가총액 가중 평균 포트폴리오는 일치한다. 따라서 CAPM이 성립하는 하에서 접점 포트폴리오(모든 위험 자산으로 구성된 시가총액 가중 평균 포트폴리오)를 '''시장 포트폴리오'''(market portfolio)라고 부른다. 또한 위험-수익률 평면상에서 절편이 무위험 이자율이고, 시장 포트폴리오를 통과하는 직선을 '''자본 시장선'''(Capital market line, CML)이라고 부른다. 위험-수익률 평면상에서 자본 시장선은 위험 자산만으로 구성된 효율적 프론티어의 접선이 된다.

CML을 수식으로 표현하면 다음과 같다.^[14]

:

\mathrm{CML} : E(r_{C}) = r_F + \frac{E(r_M) - r_F}{\sigma_M}\sigma_C.

여기서,

r_{M}

은 시장 포트폴리오의 수익률,

r_F

는 무위험 이자율이며,

\sigma_M

은 시장 포트폴리오의 수익률 표준 편차가 된다. CML은 임의의 평균 분산적으로 효율적인 포트폴리오

C

의 기대 수익률

E[r_{C}]

가 포트폴리오

C

의 수익률 표준 편차

\sigma_C

의 선형 함수임을 나타낸다.

CAPM은 투자자에게 제공되는 무위험 수익률과 시장 전체의 위험을 고려하여 시장에서 자산에 대한 이론적 요구 예상 수익률(즉, 할인율)을 도출하는 모형이다. CAPM은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.^[14]

:

\operatorname{E}(R_i) = R_f + \beta_i (\operatorname{E}(R_m) - R_f)

β, 베타는 전체 시장의 변동에 대한 자산 민감도를 측정하는 척도이다. 베타는 일반적으로 과거 데이터에 대한 회귀 분석을 통해 구한다. 1을 초과하는 베타는 전체 포트폴리오 위험에 대한 자산의 기여 측면에서 평균 이상의 "위험"을 나타낸다. 1 미만의 베타는 평균 미만의 위험 기여도를 나타낸다.
$(\operatorname{E}(R_m) - R_f)$ 는 시장 프리미엄으로, 무위험 수익률에 대한 시장 포트폴리오의 예상 수익률의 초과 예상 수익률이다.

이 방정식은 다음 회귀 분석 방정식을 사용하여 통계적으로 추정할 수 있다.

:

\mathrm{SCL} : R_{i,t} - R_{f} = \alpha_i + \beta_i\,  ( R_{M,t} - R_{f} ) + \epsilon_{i,t} \frac{}{}

여기서 α_''i''는 자산의 알파, β_''i''는 자산의 베타 계수이며, SCL은 증권 특성선이다.

CAPM을 사용하여 자산의 예상 수익률

E(R_i)

를 계산한 후, 이 수익률을 사용하여 자산의 미래 현금 흐름을 할인하여 자산의 적정 가격을 설정할 수 있다. 더 위험한 주식은 더 높은 베타를 가지며 더 높은 할인율로 할인된다. 덜 민감한 주식은 더 낮은 베타를 가지며 더 낮은 할인율로 할인된다. 이론적으로 자산의 관측 가격이 CAPM으로 도출된 할인율을 사용하여 계산한 가치와 동일할 때 자산의 가격이 적절하게 책정된다. 관측 가격이 평가액보다 높으면 자산은 과대 평가된 것이고, 가격이 너무 낮으면 과소 평가된 것이다.

8. 2. 증권 시장선(SML)

'''증권 시장선'''(Security Market Line, SML)은 세로축에 기대 수익률을, 가로축에 베타^[44]를 둔 그래프이다. 베타와 기대 수익률의 관계는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathrm{SML}: E(r_i) - r_f = (E(r_M) - r_f)\beta_i.~

SML은 베타-수익률 평면상에서 개별 자산의 기대 수익률

E[r_{i}]

가 그 베타

\beta_{i}

의 선형 함수임을 보여준다. SML은 어떤 자산이 위험에 대해 적절한 기대 수익을 제공하는지 판단하는 데 유용한 도구이다. 개별 증권은 SML 그래프 위에 표시된다. 만약 어떤 자산의 위험과 수익이 SML보다 위에 있다면, 이는 저평가된 것으로 간주된다. 반대로 SML 아래에 위치하면 고평가된 것이다. 왜냐하면 동일한 베타를 가질 때, SML보다 높은 수익률은 위험에 비해 더 많은 수익을 얻고 있다는 의미이고, 낮은 수익률은 위험에 비해 충분한 수익을 얻지 못하고 있다는 의미이기 때문이다.

증권 시장선은 시장 포트폴리오와 비교하여 어떤 자산이 고평가되었는지, 저평가되었는지를 판단하는 지표로 사용될 수 있다.

8. 3. 증권 특성선(SCL)

자산 가격 결정 이론에 따르면, 완전 시장과 합리적 투자자가 존재하는 경우, 어떤 증권이 다른 증권에 비해 가격이 비싸거나 싸면 수요와 가격이 조정되어 시장 균형 상태가 된다. 이 균형 상태에서는 위험 대비 보상 비율이 모든 증권에 걸쳐 동일하게 유지된다.^[14]

증권 특성선(security characteristic line, SCL)은 시장 수익률 ''r_M''과 개별 증권 ''i''의 수익률 ''r_i'' 간의 관계를 나타내는 선형 회귀식이다. SCL 공식은 다음과 같다.

:

r_{i,t} = \alpha_i + \beta\,  r_{M,t} + \epsilon_{i,t}

8. 4. 체계적 위험과 비체계적 위험

Modern portfolio theory^영어에서 자산의 위험은 시장 전체와 관련된 '''체계적 위험'''과 개별 자산에 고유한 '''비체계적 위험'''으로 나눌 수 있다.^[45]

'''체계적 위험'''(systematic risk): 시장위험 또는 포트폴리오 위험이라고도 하며, 모든 증권에 공통적으로 적용되는 위험이다. 공매도를 제외하고는 분산 투자를 통해 제거할 수 없다. 시장 포트폴리오 내에서 자산별 위험은 가능한 범위 내에서 분산되므로, 체계적 위험은 시장 포트폴리오의 위험(표준 편차)과 동일하게 간주된다.
'''비체계적 위험'''(nonsystematic risk): 개별위험, 고유위험 또는 특수위험이라고도 불리며, 개별 자산과 관련된 위험이다. 포트폴리오 내에서 분산 투자를 통해 이러한 위험을 줄일 수 있다(개별 위험은 서로 상쇄됨).

위험을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\sigma_i^2 = \beta_i^2  \sigma_M^2 + var(\epsilon_i)

여기서 두 번째 항인

var(\epsilon_i)

는 개별 자산과 관련된 비체계적 위험을 나타내며, 시장과 무관하므로 분산 투자를 통해 줄일 수 있다. 반면, 첫 번째 항인

\beta_i^2  \sigma_M^2

는 모든 증권에 공통적인 체계적 위험을 나타내며, 상쇄될 수 없다. 마켓 뉴트럴 전략을 사용하여 베타를 줄임으로써 체계적 위험을 관리할 수 있다.

9. 현대 포트폴리오 이론의 한계 및 비판

현대 포트폴리오 이론(MPT)은 여러 면에서 현실 세계와 일치하지 않아 투자 도구로서의 적합성에 대한 의문이 제기되고 있다.^[1]

MPT는 위험, 수익 및 상관 관계를 기대값을 기반으로 측정한다. 이는 미래에 대한 통계적 진술을 의미하지만, 실제 투자에서는 과거 데이터를 기반으로 예측해야 한다.^[15] 이러한 과거 데이터는 새로운 상황을 반영하지 못할 수 있다.^[16]

더 근본적인 문제는 투자자가 과거 시장 데이터를 기반으로 주요 매개변수를 추정해야 한다는 점이다. MPT는 손실 가능성을 모델링하지만, 손실 발생 원인에 대해서는 설명하지 않는다. 사용되는 위험 측정은 구조적이지 않고 확률적이다.^[1] 더글러스 W. 허바드는 옵션 이론과 MPT의 차이점을 지적하며, MPT는 가격 변동의 근본적인 구조를 설명하지 않고 단순히 확률만 제시한다고 비판한다.

수학적 위험 측정이 투자자의 진정한 관심사를 반영하는지도 중요하다. 분산은 비정상적으로 높은 수익과 낮은 수익을 동일하게 위험하다고 간주하는 대칭적 측정이다. 그러나 손실 회피 심리에 따르면 투자자는 이익보다 손실에 더 민감하며, 이는 위험에 대한 직관이 비대칭적임을 의미한다. 일관성 있는 위험 측정과 같은 다른 방법이 투자자의 선호도를 더 잘 반영할 수 있다.

MPT는 수익이 정규 분포를 따른다는 가정 때문에 비판받기도 한다. 브누아 만델브로트와 유진 파마는 이러한 가정의 부적절성을 지적하고 안정 분포 사용을 제안했다.^[19]^[20]^[21] 나심 니콜라스 탈레브는 MPT의 가우스 가정을 제거하면 공허함만 남는다고 비판했다.

반대 투자와 가치 투자는 일반적으로 MPT를 따르지 않는다.^[22] 존 템플턴 경은 다각화는 믿었지만, MPT의 이론적 기초는 의심스럽다고 생각했다.^[23]

일부 연구에서는 자본을 동일하게 분산하는 "단순 다각화"가 특정 상황에서 MPT보다 유리할 수 있다고 주장한다.^[24] MPT는 상관관계가 높은 자산군에서 모델 불안정성에 취약하여 부적절할 수 있다.^[25] MPT는 투자자가 합리적이고 위험 회피적이라고 가정한다. 즉, 동일한 기대 수익을 가진 자산 중 위험(수익률의 표준 편차)이 작은 것을 선호한다는 것이다.

10. 확장 및 대안

포스트 모던 포트폴리오 이론은 비정규 분포, 비대칭, 그리고 꼬리가 두꺼운 위험 척도를 채택함으로써 현대 포트폴리오 이론(MPT)을 확장한다.^[26]

블랙-리터만 모델 최적화는 무제약 마코위츠 최적화의 확장으로, 위험 및 수익의 입력에 대한 상대적 및 절대적 '관점'을 통합한다. 이 모델은 예상 수익이 불확실하다고 가정함으로써 확장되며, 이 경우 상관 행렬은 수익 간의 상관 행렬과 다를 수 있다.^[17]^[18]

차익거래 가격결정 이론(APT)은 1976년에 스티븐 로스에 의해 고안되었다. 기대 수익률을 거시 경제학과 관련된 다양한 요인을 설명 변수로 하는 선형 대수의 형태로 모델링하고 있다. 설명 변수로는 국내 총생산(GDP), 인플레이션(물가 상승률), 환율, 실업률 등이 있다. APT는 CAPM에 비해 가정의 제한이 적다.

11. 기타 응용 분야

현대 포트폴리오 이론(MPT)은 금융 분야뿐만 아니라 다양한 분야에 응용되고 있다.

'''지역 과학:''' 1970년대 마이클 콘로이는 MPT를 활용하여 경제 내 노동력의 성장과 변동성을 모델링했다. 이를 통해 경제 성장과 변동성 간의 관계에 대한 연구가 이어졌다.^[30]
'''사회 심리학:''' MPT는 자아 개념을 구성하는 자아 속성들이 잘 분산되어 있을 때, 개인의 심리적 안정성이 높아진다는 것을 보여준다. 이는 인간 피험자를 대상으로 한 연구에서 확인되었다.^[31]
'''정보 검색:''' MPT는 정보 검색에서 문서 간의 불확실성과 상관관계를 모델링하여 검색 결과의 관련성을 높이고 불확실성을 줄이는 데 활용된다.^[32]
'''프로젝트 포트폴리오 관리:''' MPT는 금융 상품 외에 프로젝트 및 기타 자산 포트폴리오에도 적용된다.^[33]^[34] 다만, 프로젝트 포트폴리오는 금융 포트폴리오와 달리 "덩어리"로 구성되어 분할이 어렵고, 프로젝트 시작 기회가 제한적이며, 매몰 비용 발생 가능성이 있다는 점을 고려해야 한다.^[33]

하지만 이러한 차이점에도 불구하고 MPT의 기본 개념은 다양한 의사 결정 분석 문제에 적용될 수 있다. 예를 들어, 투자자의 위험 감수성을 파악하는 개념은 여러 분야에 적용 가능하다. MPT는 과거 분산을 위험 척도로 사용하지만, 과거 데이터가 없는 경우 "자본 비용 미만의 ROI 발생 가능성" 또는 "투자의 절반 이상 손실 발생 가능성"과 같이 더 일반적인 용어로 위험을 표현할 수 있다.^[33]

참조

_[1] 뉴스 How a volatility virus infected Wall Street https://www.ft.com/c[...] 2018-04-11
_[2] 논문 Multivariate GARCH models: a survey https://doi.org/10.1[...] 2006-02-01
_[3] 논문 Portfolio Selection http://onlinelibrary[...] 1952-03-01
_[4] 논문 The problem of full-risk insurances 1940
_[5] 논문 The origins of the mean-variance approach in finance: revisiting de Finetti 65 years later https://doi.org/10.1[...] 2007-05-01
_[6] 웹사이트 Portfolio theory http://www2.imm.dtu.[...]
_[7] 논문 Portfolio Selection 1952-03-01
_[8] 웹사이트 https://ocw.mit.edu/[...]
_[9] 논문 The Optimization of a Quadratic Function Subject to Linear Constraints 1956-03-01
_[10] 서적 Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets Wiley 2000-02-01
_[11] 웹사이트 PortfolioAllocation JavaScript library https://github.com/l[...] 2018-06-13
_[12] 논문 An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier http://dx.doi.org/10[...] 1972-09-01
_[13] 논문 Explicit Solution of a General Consumption/Investment Problem
_[14] 웹사이트 Risk and Return in Equilibrium: The Capital Asset Pricing Model (CAPM) http://public.econ.d[...]
_[15] 논문 Scale-dependent portfolio effects explain growth inflation and volatility reduction in landscape demography https://doi.org/10.1[...] 2017
_[16] 논문 Enhancing mean–variance portfolio selection by modeling distributional asymmetries http://espace.librar[...] 2016
_[17] 논문 Agnostic Risk Parity: Taming Known and Unknown-Unknowns https://doi.org/10.2[...]
_[18] 논문 Optimal trend-following portfolios https://doi.org/10.2[...]
_[19] 서적 Stable Paretian Models in Finance Wiley
_[20] 웹사이트 New Approaches for Portfolio Optimization: Parting with the Bell Curve — Interview with Prof. Svetlozar Rachev and Prof.Stefan Mittnik https://statistik.ec[...]
_[21] 논문 Portfolio Optimization When Risk Factors Are Conditionally Varying and Heavy Tailed http://publikationen[...]
_[22] 서적 Margin of Safety: Risk-averse Value Investing Strategies for the Thoughtful Investor HarperCollins
_[23] 서적 Templeton's Way With Money: Strategies and Philosophy of a Legendary Investor Wiley
_[24] 논문 Markowitz Versus the Talmudic Portfolio Diversification Strategies
_[25] 논문 Sherman ratio optimization: constructing alternative ultrashort sovereign bond portfolios https://www.risk.net[...] 2023
_[26] 논문 Fat-Tailed Models for Risk Estimation https://www.econstor[...] 2011
_[27] 논문 Variance Aversion Implies μ-σ²-Criterion
_[28] 논문 Portfolio Selection with Monotone Mean-Variance Preferences https://www.carloalb[...]
_[29] 논문 Mean-Deviation Analysis in the Theory of Choice https://doi.org/10.1[...]
_[30] 논문 Regional Economy Size and the Growth-Instability Frontier: Evidence from Europe
_[31] 논문 Crossing disciplinary boundaries: Applying financial portfolio theory to model the organization of the self-concept
_[32] 웹사이트 Portfolio Theory of Information Retrieval http://web4.cs.ucl.a[...] Web4.cs.ucl.ac.uk 2009-07-11
_[33] 서적 How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business John Wiley & Sons
_[34] 웹사이트 Manufacturing Portfolio Theory http://www.sctracker[...] International Institute for Advanced Studies in Systems Research and Cybernetics
_[35] 논문 Portfolio Selection
_[36] 논문
_[37] 논문
_[38] 논문
_[39] 수식
_[40] 수식
_[41] 논문
_[42] 서적 金融工学入門日本経済新聞出版
_[43] 논문
_[44] 논문 베타의 도출 증명
_[45] 논문
_[46] 서적 How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business John Wiley& Sons
_[47] 저널 Portfolio Selection

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com